我將要回答“切線或其他函數的問題”，因為其餘的似乎處理得很好。

我們聽到的所有聲音都具有確定的音高或音符可以由周期函數表示。正如我在評論中所寫，任何重複的形狀都代表週期函數。至少在數學上，無論是在現實世界還是理論上，大多數週期性函數都非常複雜。

如果我們想對所聽到的聲音進行數學運算，則必須牢牢掌握這些週期性功能。真正有用的是簡化它們的方法。如前所述，傅里葉分析使我們能夠做到這一點。我們可以將復雜的周期函數與一些真正令人討厭的數學結合起來，將其分解為更簡單的周期函數，其中的數學運算要容易得多。

最簡單的周期函數是正弦和余弦，它們實際上是同一件事他們密切相關。切線是一個非常著名的周期函數，在基本三角學（從字面上研究三角形）中非常有幫助。切線有許多其他用途，但是大多數人首先將切線函數視為分析三角形的一種方法。

即使我們通常同時學習正弦，餘弦和切線，切線函數實際上也是在某些重要方面不同於正弦和余弦。它不是連續的，這意味著如果不拿起鉛筆再次放下就不能畫很多東西。甚至比這更糟，因為它具有無限數量的不連續點（您必須拿起鉛筆的地方）。請注意，這不僅與正弦和余弦形成鮮明對比，而且與建模聲波的周期性函數也形成鮮明對比。如果我們將聲波繪製出來，它們就是連續的函數。

因此，如果我們要採用周期函數並將其分解為簡單的片段，我們就不想將其分解為切線的片段。切線對我們無濟於事，它確實更有可能使事情變得更糟。當傅立葉（發明傅立葉分析的數學家）試圖分解週期函數時，他正在尋找一種將其轉化為正弦和余弦的方法，而不是其他任何週期函數（並且有很多）。

我可以寫幾頁說明為什麼正弦和余弦不僅是簡單的周期函數，實際上還存在最簡單的函數，但是我認為這不是最好的選擇。但是，讓我簡單地說一下，圓也許是最簡單的形狀，如果沿著圓繞圓點，那麼它的垂直運動會描繪出一個正弦波，而水平運動會描繪出一個餘弦（這取決於該點在圓上的起始位置，但是一個會是正弦，另一個會是餘弦，或者至少一個會比另一個相位晚四分之一。） ，並希望這將為您提供一種方法，以了解正弦波（或餘弦，相同的東西，實際上）是最簡單的周期函數，因此，我們希望將其分解為更複雜的函數，也將其分解為

另請參閱該問題的物理版本，並提供類似的答案： https://physics.stackexchange.com/questions/352754 /為什麼餘弦和正弦函數在表示信號或波動時使用

正弦和余弦相同，只是偏移90度。它們形成一個“正交對”：如果添加它們的平方，則將得到一個常數。當您繪製正弦波來表示音頻時，它表示某個“聆聽”點的壓力（與中性相比）或脈衝密度。兩者再次構成正交對：如果平方並添加它們各自的大小以得到固定的正弦波噪聲，則會得到一個代表聲能密度的常數。

現在為什麼要使用正弦波？有人指出，這是因為您可以讓一切都由正弦波組成，但這只是循環推理：幾乎任何波形都可以用作分解信號的基礎：一個正弦波可以很容易地表示為無數方波的組成

但是，挑出正弦波的是它們是線性時不變系統的本徵函數（這是工作於聲音的絕大多數係統：任何環境沒有周圍有一些鬆動的聲納部分，只要放大器不被過度驅動，延遲電路，均衡器等就可以了：如果給此類系統提供正弦波，則輸出將是正弦波相同頻率的波，儘管其體積和相位可能不同。

沒有其他波形具有此特徵：通過此類系統饋電時，方波不會保持矩形，鋸齒波不會保持鋸齒，頻率掃描恆定振幅變化成機智

不存在閉門後發出的“消音”正弦波：它可能會衰減，但其聲音質量完全相同。

因為圓是最純的周期形狀：

任何週期正交函數都可以構成更複雜，“更少”的基礎純”的聲音（即具有許多諧波的聲音）。參見Dave Benson的出色著作（免費）！ 音樂：一種數學方法（劍橋大學出版社），ch。 2，“傅立葉理論”。

我非常喜歡達倫的開始，將您的問題轉換為“為什麼我們將正弦波感知為純音？”

當在空中傳播的波到達耳鼓時，耳鼓振動。該振動被傳遞到中耳的三個小骨頭。簡而言之，獲得聽力的倒數第二個步驟是，蝸牛形物體內的流體前後流動，就像聲波通過空氣流向您的耳朵時，空氣分子的流動一樣。現在，在蝸牛狀的東西內，“地板”或“牆壁”上附著有大量的小毛髮。他們隨著中耳傳遞的振動而搖擺。它們像正弦波一樣振盪-向前和向後，向前和向後。

振盪頻率引起不同的音高。

為補充其他答案中的令人印象深刻的數學背景（對Geremia的鏈接表示敬意），我想總結一下我的觀點，以便在以下兩個方面獲得更多實踐意義：

• A我們的耳/腦組合會將音調分解為基本音調和泛音。 （因此，其他分解理論上也是可能的，因此沒有影響）。泛音增加了所謂的音色。如果去除音色，顯然可以達到一種非常純淨的音調。要獲得直接的體驗，請聽正弦發生器，或者缺少正弦發生器，請聽一聽笛子，該笛子非常接近正弦，而與單簧管相反，單簧管則離它很遠。

• 正弦波表示諧波振盪。我現在不得不訴諸機械波。諧波振盪是未放大的振盪，其中恢復力與平衡偏移成比例。對於擺錘，這意味著與垂直角度成比例。沒有比直接比例更簡單的公式，因此正弦波是最簡單的波。