其他答案是通過除以八度並表明相等的除法必須是非理性的來解決的。另一種看待這種情況的方式是考慮是否可以通過有理數的連續乘法來組成八度音階。結果當然是相同的：我們不能。
從算術基本定理開始：
每個大於1的整數要么是素數本身，要么可以表示為素數的乘積，而且這種表示是唯一的，直到（除）因子的順序為止。
因此，我們需要定義不可約分數：
每個有理數都可能以不可約分數a / b唯一表示，其中a和b是互素數整數，並且b> 0。
兩個數字在沒有素數因子共同的情況下是“ coprime”。因此，有理數可以表示為素數集（具有指數），該素數定義了其唯一的不可約表達式。例如， 81:64 可以表示為 3 4 sup> * 2 −6 sup> 。當您乘以比率時，您要添加其主要因子的指數。因此 3：2 和 5：4 的乘積（ 2 −1 sup> * 3 1 sup> 和 2 −2 sup> * 5 1 sup> ）是 2 −3 sup> * 3 1 sup> * 5 1 sup> 或 15：8 。
您正在尋找均等的比率R將一個八度音階劃分為N個部分，這意味著R N sup>等於2。我們可以確定這樣的比率嗎？
經典的例子是完美的第五個例子，比率為3：2。通過將該比率提高到一定的冪，通過乘以2或乘以2的冪來調整八度，可以找到其他間隔。例如，主要秒數可以是9：8，即（3：2） 2 sup> / 2。主要的三分之一可以是81:64，即（3：2） 4 sup> / 4。要生成五分之一圈中的所有音高，請保持相乘。回到C（有些作者將其稱為B♯）時，最終音高比開始時的音高稍高七個八度。這兩個頻率之比為3 12 sup>：2 12 sup>。由於素數分解包括3且非零指數，所以不能精確地達到相同的音調等級。
通過概括，我們可以證明每個都一樣>比率R本身不是2的冪。（如果R是2的冪，則您定義了一個單音相等的氣質，該系統中只有一個音調等級，並且基音間隔是八度音階或與之無關的倍數，這與使用2的第一個根除以倍頻程相同，當然是2。）
考慮比率R與至少一個素數P不相等到2。就像完美五分之一的例子一樣，每次將頻率乘以R，結果頻率中P指數的大小就會大於原始頻率。目的是獲得一個結果，其中P的指數為零，但每次相乘會使我們離該結果更遠。因此，這是不可能的。
當然，關於均等氣質的事情之一是2 7/12 sup>是如此接近1.5，以至於五分之一的完美五分之一在大多數情況下都接近於純淨。從比率的角度來看，這是因為3 ^ 12（531,441）的值與2 ^ 19（524,288）相當接近。您可能會通過尋找在數值上近似於2的冪的數字來找到體面的近似值。選擇了N，以使N的2的根的某個冪的值接近1.25（正整數三分之比）。如果您對其他間隔感興趣，則可以嘗試使用N的值來找到該間隔的近似值。在八度音程中，該系統對人類音樂家沒有用。它只會對計算機有用。如果您正在研究像可變音調只是準音的近似系統，那麼程序員（或程序）將不得不選擇使用幾個音符中的哪一個。在53音相等的氣質中，整個步幅可以是8/53或9/53倍八度。在可變音高的正調中，整個步驟可以是10：9的比例或9：8的比例。這基本上是相同的問題。為什麼不對計算機進行編程以使其使用可變音高正調？
